Untuk setiap bilangan bulat x didefinisikan fungsi f dengan f(x) adalah banyaknya digit dari x. Contoh: f(2666) = 4; f(22222) = 5 Tentukan [tex] f(2^{2016}) + f

misalkan
[tex]f(x)=n[/tex]
perhatikan bahwa
[tex]\forall x\in\mathbb{N}\left(f(x)=n\rightarrow\exists 0<a_{n-1}\leq 9,0\leq a_{n-2},...,a_0\leq 9\ni...\right)\\\left(...x=a_{n-1}10^{n-1}+a_{n-2}10^{n-2}+...+a_110^1+a_0\right)[/tex]
perhatikan juga bahwa
[tex]\forall x\in\mathbb{N}\left(f(x)=n\rightarrow 10^{n-1}\leq x<10^n[/tex]

misalkan
[tex]f\left(2^{2016}\right)=n[/tex]
maka kita dapatkan
[tex]10^{n-1}\leq 2^{2016}<10^n\\^2\log{10^{n-1}}\leq 2016<^2\log{10^n}\\(n-1)^2\log{10}\leq 2016<n\times ^2\log{10}\\\\(n-1)\leq\frac{2016}{^2\log{10}}\\n\leq 607,87\\\\n>\frac{2016}{^2\log{10}}\\n>606,87\\\\606,87<n\leq 607,87\\\therefore n=607[/tex]

dengan cara yang sama, kita misalkan
[tex]f\left(5^{2016}\right)=m[/tex]
maka kita dapatkan
[tex]10^{m-1}\leq 5^{2016}<10^m\\^5\log{10^{m-1}}\leq 2016<^5\log{10^m}\\(m-1)^5\log{10}\leq 2016<m\times ^5\log{10}\\\\(m-1)\leq\frac{2016}{^5\log{10}}\\m\leq 1410,23\\\\m>\frac{2016}{^5\log{10}}\\m>1409,23\\\\1409,23<m\leq 1410,23\\\therefore m=1410[/tex]

jadi
[tex]f\left(2^{2016}\right)+f\left(5^{2016}\right)=n+m=607+1410=2017[/tex]

Soal logaritma yang menarik