sebuah fungsi f(n) terdefinisi untuk semua bilangan bulat n>1. jika f(n)/f(n-1)= n-1/n+1 dan f(1)=2017. maka f(2017) adalah ....

[tex]f(n)=f(n-1)\times\frac{n-1}{n+1}\\=\left(f(n-2)\times\frac{n-2}{n}\right)\times\frac{n-1}{n+1}=f(n-2)\times\left(\frac{(n-2)(n-1)}{n(n+1)}\right)\\=\left(f(n-3)\times\frac{n-3}{n-1}\right)\times\frac{(n-2)(n-1)}{n(n+1)}=f(n-3)\times\left(\frac{(n-3)(n-2)(n-1)}{(n-1)n(n+1)}\right)\\\vdots\\=f(1)\times\frac{(n-(n-1))\hdots (n-3)(n-2)(n-1)}{(n-(n-3))\hdots (n-1)n(n+1)}\\=f(1)\times\frac{1\times 2}{n(n+1)}\\=2017\times \frac{2}{n(n+1)}\\=\frac{4034}{n(n+1)}\\\\\therefore f(n)=\frac{4034}{n(n+1)}[/tex]

akan dibuktikan rumus di atas benar menggunakan induksi matematika (hanya disertakan langkah induksinya, kalo lengkap nanti kepanjangan dan bukan menjadi bagian inti pertanyaanya)
[tex]\frac{f(n)}{f(n-1)}=\frac{\frac{4034}{n(n+1)}}{\frac{4034}{(n-1)n}}=\frac{n-1}{n+1}[/tex]


jadi
[tex]f(2017)=\frac{4034}{2017(2017+1)}=\frac{2}{2018}=\frac{1}{1009}[/tex]

f(n)/f(n - 1) = (n - 1)/(n + 1)
f(n) = f(n - 1) . (n - 1)/(n + 1)
f(1) = 2017 = 2017/1
f(2) = f(2 - 1) . (2 - 1)/(2 + 1) = f(1) . 1/3 = 2017/3
f(3) = f(3 - 1) . (3 - 1)/(3 + 1) = f(2) . 2/4 = 2017/3 . 1/2 = 2017/6
f(4) = f(4 - 1) . (4 - 1)/(4 + 1) = f(3) . 3/5 = 2017/6 . 3/5 = 2017/10
f(5) = f(5 - 1) . (5 - 1)/(5 + 1) = f(4) . 4/6 = 2017/10 . 2/3 = 2017/15
Dilihat dari pola :
f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), ......, f(2017)
2017/1 , 2017/3 , 2017/6 , 2017/10 , 2017/15, ...... , 2017/x

Lihat penyebutnya
1, 3, 6, 10, 15, ....., x
1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, .... , x
Karena x adalah penyebut dari f(2017) maka
x = 1 + 2 + 3 + .... + 2017
= Sn
= n/2 (a + Un)
= 2017/2 (1 + 2017)
= 2017/2 (2018)
= 2017 . 1009

Jadi
f(2017) = 2017/x = 2017 / (2017 . 1009) = 1/1009